非匹配网格上椭圆问题的混合有限体积元法

【摘要】本文首先介绍了非匹配网格上椭圆问题的混合有限元方法,然后提出了非匹配网格上的混合有限体积元方法.椭圆方程的Neumann边值问题可以表示为：u=-K(▽p-γp)inΩ,(A.1)cp+▽·u=qinΩ,(A.2)u·v=0on(?)Ω.(A.3)其中u和p分别表示流和压力.考虑到介质在Ω内不同区域的性质不同,在求解上述椭圆问题时,我们有必要对区域Ω进行分块处理.因此需要对非匹配网格上的椭圆问题进行求解.假设开集Ω可分割为若干非重叠的子区域Ωi,i=1,2,…,n,即Ω是闭集Uin=1Ωi(?)Rd的内部,其中Ωi为开集Ω,的闭包.ri是子区域Ω,的内部边界,即Γi=(?)Ωi\(?)Ω.定义区域Ωi与Ωj的公共边界为Γij,即Γij=Γi∩Γj,i≠j.为了表述简单,记rii=(?).为了保证非匹配边界上p和u的连续性,在交界面上需要满足如下连续性条件αpi-ui·vi=αpj+uj·vjonΓij,i,j=1,2…,n.(A.4)利用该条件,非匹配网格上的椭圆问题可以表示为：u=-K(▽p-γp)inΩi,i=1,2,…,n,(A.5)cp+▽·u=qinΩi,i=1,2,…,n,(A.6)u·v=0onaQ,(A.7)αpi-ui·vi=αpj+uj·vjonΓij,i,j=1,2…,n.(A.8)定义函数空间H0(div;Ωi)={v∈(L2(Ωi))d:▽.v∈L2(Ωi),v·vi=0on(?)Ω).(A.9)则上述椭圆方程的变分形式可以表示为：求p∈L2(Ω),u∈(L2(Ω))d,使得pi∈L2(Γi),ui∈H0(div；Ωi),ui·vi∈L2(Γi),i=1,…,n,且满足(K-1u,v)i=(p,▽·v)i+(γp,v)i-<pi,v,·vi>i,v∈H0(div;Ωi),(A.10)(cp,w)i+(▽·u,w)i=(q,w)i,w∈L2(Ωi),(A.11)其中L2(Qi)或(L2(Ωi))d上内积记为(·,·)i,L2(ri)上内积记为<·,·>i,L2(Γij)上的内积记为<·,·>ij.在Ω上定义有限元空间Vh={v∈(L2(Ω))d:vi=v|Ωi∈Vh,i,i=1,…,n),(A.13)Wh={w∈L2(Ω):wi=w|Ωi∈Wh,i,i=1,…,n},(A.14)Λh={μi∈L2(Γi):μi,j=μi/Γi,j∈Λh,i,i=1,…,n},(A.15)其中Vh,i×Wh,i×Λh,i(?)H0(div；Ωi)×L2(Ωi)×L2(Γi).(A.16)则非匹配网格上的混合有限元方法可以表示为：求uh∈Vh,ph∈Wh,λh∈Λh使得对于i=1,2,…有(K-1uh,v)i=(ph,▽·v)i+(γph,v)i-<λh,i,v·v>i,v∈Vh,i,(A.17)(cph,w)i+(▽·uh,w)i=(q,w)i,w∈Wh,i,(A.18)其中uh,i=uh|Ωi,ph,i=ph|Ωi,λh,i=ph|Γi·非匹配网格上的混合有限元方法解的存在唯一性及收敛性已经得到证明.类似于混合有限元方法,利用边界上的连续性条件(A.4),我们给出了非匹配网格上的有限体积元方法.在有限体积元方法中,试探函数空间选为式(A.13)-(A.15)定义的函数空间Vh×Wh×Γh,其中Vh选取最低阶RT元,Wh,Γh选取分片常数空间,即Vh,i={v:v|K∈Kh=(a+bx,c+dy),a,b,c,d∈R),(A.20)Wh,i={w：w|K∈Kh=常数},(A.21)Ah,i={μi：w|I∈Ii=常数}.(A.22)具体的对偶剖分如图(0.1)所示,其中Ki1/2,j称为u-块,Ki,j+1/2为v-块,Ki,j表示具体的矩形单元.相应的检验函数空间为h×Wh×Γh,其中图0.1矩形原始剖分与对偶剖分Vh={v∈(L2(Ω))d:vi=v|Ωi∈Vh,j,i=1,…,n},(A.23)Vh,i={(uh,i,vh,i):uh,i∈L2(Ωi)在u-块上是分片常数,vh,i∈L2(Ω)在v-块上是分片常数}.(A.24)定义算子γh:Vh,i→Vh,i,记uh=(uh,vh),则γhuh=(γhuh,γhvh)其中Xi+1/2,j和Xi,j+1/2分别为单元Ki+1/2,j和Ki,j+1/2的特征函数.因此非匹配有限体积元方法可以表示为：求uh∈Vh,ph∈Wh,λh∈Λh,使得对于i=1,2,…有(K-1uh,γhv)i=(ph,▽·γhv)i+(γPh,γhv)i-<λh,i,λhv·v>i,v∈Vh,i(A.26)(cph,w)i+(▽·uh,w)i=(q,w)i,w∈Wh,i,(A.27)类似的,我们实现了Dirichlet边值问题在非匹配网格上的混合有限元方法,同时给出了混合有限体积元方法.我们对Neumann边值问题和Dirichlet边值问题,分别在非匹配网格上使用混合有限元法和混合有限体积元法进行了数值实验.实验结果显示两种不同的方法在非匹配网格上有着相同的收敛阶数,而且压力函数ph在分划单元中心具有超收敛性.因此,我们提出的混合有限体积元方法相较于混合有限元方法可以更为简单的求解非匹配网格上的椭圆问题,同时保持收敛速度.
【作者】闫会芳；
【导师】李永海；
【作者基本信息】吉林大学，计算数学，2014，硕士
【关键词】非匹配网格；变分问题；混合有限元方法；混合有限体积元法；

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